![\"\"](\"http:\/\/mathsvoyages.com\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/Beauty-of-Math-Illustrated-2.jpg\")
<\/figure>\n\n\n\nComme vous l’avez remarqu\u00e9, la formulation de ce probl\u00e8me est compr\u00e9hensible par un enfant de 8-10 ans. La solution est \u00e9galement assez simple \u00e0 comprendre mais pas facile \u00e0 trouver! Commen\u00e7ons \u00e0 s’en approcher pas \u00e0 pas… En tant que premi\u00e8re \u00e9tape je vous propose une approche sans doute trop simpliste, mais qui peut servir du point de d\u00e9part. <\/p>\n\n\n\n
Round 1 : L’approche pas si maline<\/strong><\/p>\n\n\n\n Au d\u00e9part, vous pourriez penser, “Eh bien, soyons m\u00e9ticuleux !” Vous prenez la premi\u00e8re pi\u00e8ce et la mettez d’un c\u00f4t\u00e9 de la balance, puis vous mettez chacune des huit autres pi\u00e8ces de l’autre c\u00f4t\u00e9, une par une. Si la balance penche, voil\u00e0 ! Vous avez trouv\u00e9 la pi\u00e8ce plus l\u00e9g\u00e8re. Cependant cette approche est lente et inefficace. Dans le pire des cas (si par malchance la balance penche que lors du dernier essai) vous devriez utiliser la balance \u00e0 bascule huit fois, en comparant la premi\u00e8re pi\u00e8ce \u00e0 toutes les autres, une par une. Parlez d’une corv\u00e9e !<\/p>\n\n\n\n A ce moment la vous avez d\u00e9j\u00e0 une petite intuition du processus de comparaison. Apr\u00e8s avoir lu une premi\u00e8re strat\u00e9gie pas tr\u00e8s optimale propos\u00e9 par moi et peut-\u00eatre une autre strat\u00e9gie invent\u00e9e par vous, je vous propose d’essayer d’am\u00e9liorer la strat\u00e9gie pour minimiser le nombre de p\u00e9s\u00e9es. Pour cela, il est toujours utile de se poser quelques questions: Quelles sont les faiblesses de la strat\u00e9gie? Pourquoi est-elle plus lente et sous-optimale dans le pire des cas? Quelles sont les pistes pour am\u00e9liorer ma strat\u00e9gie? Je vous propose de vous arr\u00eater pour quelques petites minutes de r\u00e9flexion avant de continuer \u00e0 lire.<\/p>\n\n\n\n Round 2 : <\/strong>Optimisation du processus<\/p>\n\n\n\n Alors, penchons-nous sur les inconv\u00e9nients de cette premi\u00e8re approche. Le hic, c’est que si, apr\u00e8s la premi\u00e8re pes\u00e9e de deux pi\u00e8ces, la balance nous dit qu’elles ont le m\u00eame poids, nous sommes certains que la faussaire se trouve parmi les sept pi\u00e8ces restantes. C’est une information utile, mais voici le probl\u00e8me : nous avons utilis\u00e9 une pes\u00e9e seulement pour r\u00e9duire le nombre de pi\u00e8ces de neuf \u00e0 sept. Cela est tr\u00e8s inefficace!<\/p>\n\n\n\n Peut-\u00eatre que dans notre excitation de jouer les d\u00e9tectives de pi\u00e8ces contrefaites, nous avons oubli\u00e9 une chose : nous ne sommes pas oblig\u00e9s de peser les pi\u00e8ces une par une ! C’est comme si on utilisait une balance pour mesurer le poids d’un paquet de frites en mettant les frites une par une, au lieu de simplement peser le paquet entier. C’est s\u00fbr, mais c’est un peu exag\u00e9r\u00e9, non ?<\/p>\n\n\n\n Alors essayons de mettre plus de pi\u00e8ces de chaque c\u00f4t\u00e9 de la balance lors du premier essai! Il est essentiel de noter cependant que cela n’a de sens de comparer que des groupes de tailles \u00e9gales ; sinon, notre essai ne nous fournira aucune information utile. Pourrez-vous en utilisant ces conseils am\u00e9liorer la strat\u00e9gie?<\/p>\n\n\n\n En fait, il est important de r\u00e9aliser que chaque pes\u00e9e n’est rien de plus qu’une s\u00e9paration de toutes les pi\u00e8ces en trois groupes : le Groupe 1 \u00e0 gauche de la balance, le Groupe 2 \u00e0 droite, et le Groupe 3 qui reste \u00e0 l’\u00e9cart sans \u00eatre pes\u00e9. De plus, pour que la pes\u00e9e ait un sens, il faut que le nombre de pieces dans le Groupe 1 soit \u00e9gal au nombre de pieces dans le Groupe 2. Dans ce cas, si la balance penche lors de la pes\u00e9e, comme on compare le m\u00eame nombre de pieces, cela veut forcement dire que c’est \u00e0 cause de la fausse piece plus l\u00e9g\u00e9re que la balance a pench\u00e9. Donc dans ce cas la fausse piece se trouve dans le groupe du c\u00f4t\u00e9 plus l\u00e9ger de la balance. Si, au contraire, la balance est rest\u00e9e dans l’\u00e9quilibre, cela les pieces suspect\u00e9s d’\u00eatre fausses ne sont que dans le Groupe 3, celui qui n’a pas \u00e9t\u00e9 pes\u00e9.<\/p>\n\n\n\n Vous vous sentez un peu perdu? Eh bien, dans ce cas il est souvent utile de consid\u00e9rer un probl\u00e8me similaire mais un peu plus simple. Imaginez qu’au lieu de 9 pieces vous avez seulement 3 pieces et vous voulez determiner la fausse piece. En fait, dans ce cas une seule pes\u00e9e suffit pour determiner la fausse piece! Vous prenez deux pi\u00e8ces et les placez de chaque c\u00f4t\u00e9 de la balance. Deux sc\u00e9narios se pr\u00e9sentent :<\/p>\n\n\n\n Pouvez-vous maintenant deviner combien de pes\u00e9es faudra-t-il dans le cas de 9 pieces?<\/p>\n\n\n\n Round 3 : La Strat\u00e9gie <\/strong>Optimale<\/p>\n\n\n\n Le premier pas de la strat\u00e9gie optimale consiste en diviser nos 9 pieces en trois groupes de trois pi\u00e8ces chacun. Commencez par peser le Groupe 1 contre le Groupe 2. Si un c\u00f4t\u00e9 penche, f\u00e9licitations ! Cela veut dire que la fausse pi\u00e8ce se trouve dans le Groupe plus l\u00e9ger qui contient 3 pieces et vous avez r\u00e9duit la liste des suspects \u00e0 trois pi\u00e8ces en une seule pes\u00e9e. G\u00e9nial ! Mais que se passe-t-il si les deux c\u00f4t\u00e9s s’\u00e9quilibrent ? Eh bien, cela signifie que la pi\u00e8ce contrefaite est dans le Groupe 3.<\/p>\n\n\n\n Maintenant, vous \u00eates dans la m\u00eame situation que lorsque nous n’avions que trois pi\u00e8ces. Prenez les trois pi\u00e8ces du Groupe correspondant et appliquez la strat\u00e9gie que nous avons d\u00e9j\u00e0 vu pour les trois pi\u00e8ces. En une seule pes\u00e9e suppl\u00e9mentaire, vous d\u00e9couvrirez quelle pi\u00e8ce est la plus l\u00e9g\u00e8re.<\/p>\n\n\n\n Bonus<\/strong><\/p>\n\n\n\n Et si au d\u00e9but on avait pas 9 pieces mais 27? Ou m\u00eame 81? Combien de pes\u00e9es faudrait-il dans ces cas? Ecrivez vos r\u00e9ponses dans les commentaires! Et n’oubliez pas les explications!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Dans mon tout premier article de ce blog, je vais vous embarquer pour une petite aventure math\u00e9matique. 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